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是超紧基数的弱扩张子模型，并且在V中，κ＞δ是奇异基数，则κ在N中是可测基数。

    事实上，弱扩张子模型可以容纳δ以上的所有大基数!

    定理3.7(普遍性)假设N是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型，并且在V中，γ＞δ是正则基数，并且

    π:(H(κ ))N→(H(π(κ) ))N

    是一个初等嵌入，并且crt(π)＞δ，则π∈N。

    也就是说，V中δ以上的大基数都在N中保持为δ以上的大基数。这不能不说是一个令人惊奇的结果。

    但是，弱扩张子模型是否存在呢到目前为止它只是一个抽象的概念。但有一些数学“证据”暗示其存在。

    定理3.8(詹森，1974)L或者非常接近V或者离V很远。即以下二者必居其一:(1)对任意V中的奇异基数γ，γ在L中是奇异基数，并且(π )L=γ ;(L非常接近V。)

    (2)每个不可数基数在L中都是不可达的。(L与V相差很远。)

    武丁则得到了关于HOD的类似结果。

    定理3.9假设κ是可扩张基数，则HOD或者非常接近V，或者(在κ以上)离V很远。即以下二者必居其一

    (1)对任意V中的奇异基数，γ在HOD中是奇异基数，并且(γ )HOD=γ ;(2)所有大于κ的正则基数在HOD中都是ω-强可测基数。

    假设存在可扩张基数，则无论哪种情况成立，HOD中都存在一个可测基数。因为如果(1)成立，则HOD是r是超紧基数的弱扩张子模型，r显然是HOD中的可测基数。而如果(2)成立，则更是显然。

    HOD猜想HOD接近V，或者说，在ZFC内可以证明:在HOD中，{δ|δ是正则基数但不是ω-可测基数}是一个真类。

    如果HOD猜想成立，则HOD是一个弱扩张子模型，反之亦然。

    定理3.10假设κ是一个可扩张基数，则以下命题等价:

    1.HOD猜想成立;

    2.HOD是κ是超紧基数的弱扩张子模型。

    那么，HOD猜想是否成立呢它会不会像CH本身一样是独立的呢从目前的证据来看，这似乎不可能。因为武丁证明，HOD猜想是脱殊绝对的:如果HOD猜想在V中成立，则它在V的所有脱殊扩张中都成立。所以不可能用力迫法证明HOD猜想的独立性，而力迫法又几乎是唯一证明独立性的手段。

    还有一些支持HOD猜想的证据，目前已经知道的是以下这点与ZFC一致:ω1和ω2在HOD中是ω-强可测基数。但是，我们甚至不知道HOD中是否能够容纳4个ω-强可测的正则基数;也不知道对任意奇异基数γ，γ 是否是HOD中的ω-强可测基数;更不知道是否存在超紧基数以上的ω-强可测的正则基数。

    如果HOD猜想成立，则HOD包含了一个弱扩张子模型，而这样的模型可容纳所有已知的大基数，因此是某种意义上的“终极L”模型。武丁还提出了这样一种设想，即，在不知道如何构造“终极L”的情况下，我们仍可以叙述公理!“V=终极L”

    V=终极L公理

    公理“V=终极L”包括以下命题:

    (1)存在武丁基数的真类W;

    (2)对任意∑3-语句ρ，若ρ在V中成立，则存在一个通用贝尔集ACR，使得

    HODL(A，R)∩VθL(A.R)╞ρ

    终极L猜想假设K是可扩张基数，则存在模型N满足;

    (1)N是K是超紧基数的弱扩张子模型;

    (2)NHOD;

    (3)N╞“V=终极L”

    定理3.11假设终极L猜想成立，则:

    1.CH成立;

    2.V=HOD;

    3.Ω猜想成立。

    这样，我们可以合理地认为，如果终极L猜想成立，那它一定会在两个方向上为数学中的柏拉图主义辩护。首先，它证明Ω猜想成立，而根据第二节的分析，这从根本上拒绝了多宇宙的真理观。因为，在Ω猜想成立的情况下，脱殊多宇宙真就可归结为H(δ0 )中的真，这本质上与形式主义将真归结为在ZFC中可证是一样的。正如我们已经指出的，这种对真理的看法无法说明这样的问题:为何一些独立性命题是无意义的而另一些不是

    其次，如果终极L存在，那ZFC的众多模型中就有一个非常特殊的。它不仅可以容纳所有已知的大基数，而且具有很好的结构性质从而解决所有的自然的独立性问题。同时，在“终极L中为真”对于集合力迫又是免疫的，从而不能用通常的力迫证明其独立性。终极L的这种特殊性自然需要哲学上的解释。武丁多次强调，这种特殊性源自它十分接近V，那个真实的集合论宇宙。除了这种柏拉图主义的解释，我们暂时看不到任何其他的哲学立场能够做到这一点。