人物的设定 (第3/4页)
于↑这个符号， ↑小于→这个符号。 比如：5x5=25，5^5^5，5↑5↑5，5→5→5。 ω的另一个名称是n。 小写的n和大写的N一样。 为了容易区分把ω^ω^ω^ω^ω^ω^……^ω名为A，ω→ω→ω→ω→ω→ω……→ω命名为B。 绝对无限Ω： 一个多重列(multiplicity)被称为良序的，如果它符合所有子列都有第一个元素的条件；我把这种多重列简称为序列。我正视所有数的系统并把它指示为Ω。系统Ω依照量是“序列”而处于它的自然排序下。让我们毗连0作为给这个序列的一个额外元素，如果我们设置这个0在第一个位置上则Ω*仍是序列...通过它你可欣然的自我确信，出现在其中的所有的数都是所有它前面元素的序列的序数。Ω*(因此还有Ω)不能是相容的多重列。因为如果Ω*是相容的，则作为良序集合，数Δ将属于它，而它将大于系统Ω的所有的数；但是数Δ还属于系统Ω，因为由所有的数组成。所以Δ将大于Δ，这是一个矛盾。所以所有序数的系统Ω是不相容的，绝对无限多重列。 所有序数的搜集在逻辑上不能存在，这个想法在很大程度是悖论性的。这与没有最大序数的Burali-Forti悖论有关。所有这些问题都可以回溯到，对于所有逻辑上可以定义的性质，都存在有这个性质的所有对象的一个集合的想法。但是在康托尔上述论证中，这个想法导致了困难。 更加一般的说，如A.W.Moore所表述的，集合形成的过程没有终结，因此没有作为“所有集合的全体”或“集合层次”的这种事物。任何这种总体自身必定是集合，所以位于这个层次中的某个地方而不能包含所有集合。 这个问题的标准解决可在Zermelo集合论中找到，它不允许对任意性质的无限制的集合形成。转而我们可以形成有某个给定性质并“位于没有给定集合中”的所有对象的集合(Zermelo的分离公理)。这允许在有限制意义上的集合形成，而(有希望)保存理论的相容性。 但是尽管它优雅的解决了逻辑问题，但哲学问题依旧。只要个体们存在这些个体的集合就应存在是很自然的。在朴素的意义上，集合论可以被称为基于了这个概念。Zermelo的修正将提交给我们一个更神秘的真类的概念:在我们的理论中有着没有作为一个对象(集合)的任何形式存在的对象的类。例如，所有集合的类就是这种真类。 不可达基数： 概念 不可达基数是强弱不可达基数的统称。如果κ是不可数的、正则的极限基数，则称κ是弱不可达基数；如果κ是不可数的、正则的强极限基数，则称κ是强不可达基数。这两类大基数合称不可达基数(或不可到达基数)，也有文献只把强不可达基数称为不可达基数。不可达基数的概念是波兰数学家谢尔品斯基(Sierpiski，W.)和波兰学者塔尔斯基(Tarski，A.)于1930年引入的。由于任何基数λ的后继基数λ 不超过λ的幂2λ，所以每个强不可达基数必为弱不可达基数；又由于在广义连续统假设GCH之下，λ =2λ，所以在GCH之下，每个弱不达基数也是强不可达基数。之所以如此称呼这类大基数，是因为不能用通常的集合论运算来“到达”它们。事实上，若κ是强不可达基数，又集合X的基数|X|<κ，则幂集P(X)的基数也小于κ；又若|S|<κ，且对每个X∈S，|X|<κ，则|∪S|<κ。这就是说，由小于κ的基数，无论进行何种运算，总达不到κ。可数无穷基数N0也具有上述两条性质，因此，也可以说在有限基数的范围内，用除去无穷公理之外的任何集论运算，N0也是“不可到达”的。这就清楚地看出，不可达基数确实是无穷基数0的一种自然推广。“存在不可达基数”已不是ZFC系统的定理。若想肯定这一事实，只有引入大基数公理。事实上，若κ是强不可达基数，则直到κ层的集Vκ就是ZFC系统的模型。这样，若存在强不可达基数，则ZFC系统便相容。但不可能在ZFC系统中证明ZFC系统的相容性，于是推知：“存在不可达基数”不是ZFC系统的定理。 弱不可达基数： 弱不可达基数是一种正则基数。既是极限基数又是正则基数的不可数基数。若Nα为弱不可达基数，则cf(α)=α，且α是极限序数。因为cf(Nα)≤Nα，Nα≥α，所以Nα=α。可见Nα是非常大的。由定义还可看出，不可达基数κ不可能由比它小的基数通过基数的加法、乘法、乘幂和取极限等运算得到。豪斯多夫(Hausdorff，F.)在1908年提出了弱不可达基数的概念。现已知道弱不可达基数的存在性在ZFC系统中是不可证的。
强不可达基数： 强不可达基数是一种正则基数。简称不可达基数。既是正则的又是强极限的无穷基数。即如果正则基数κ满足κ>N0，且对任何λ<κ有2λ<κ，κ就是一个强不可达基数。强不可达基数一定是弱不可达的。在广义连续统假设成立时，每个弱不可达基数也是强不可达的。这时这两个概念是相同的。在ZFC系统中不能证明不可达基数的存在性。称这种基数为不可达的原因是它不可能从比它小的基数出发，使用通常的集合论运算得到。 正则基数： 正则基数是一种特殊基数。如果α为极限序数，且cf(α)=α，则称α为正则的。正则的基数称为正则基数。不正则的无穷基数称为奇异基数。由于正则的序数一定是基数，故人们对正则的序数、正则序数、正则的基数和正则基数这几个概念不加区别地使用。通常也有人将ω称为正则基数，将Nα 1称为正则序数。正则性是基数的重要概念之一，它由德国数学家豪斯多夫(Hausdorff，F.