人物的设定 (第4/4页)

)于1908年引入。关于正则基数的性质曾引申出许多重要的集合论命题，其中最重要的问题是：是否能在ZF系统中证明存在大于ω的正则基数一方面，由选择公理知，N1，N2，…，Nα 1都是大于ω的正则基数。另一方面，以色列集合论学家吉帖克(Gitik，M.)于1979年在假定存在某种大基数真类的情况下，证明了不存在大于ω的正则基数，也是和ZF系统相容的。

    基数：

    亦称势。公理集合论的基本概念之一。是度量集合大小的量。在德国数学家康托尔(Cantor，G.(F.P.))之前，无穷只是一个很模糊的概念，人们无法区分两个无穷集的大小。1873年，康托尔发现自然数集与实数集之间不存在一一对应的关系，由此意识到可以用一一对应作为度量无穷集合大小的尺度。他把集合的大小称为集合的势，记为x‘，x为一集合。并且他定义，若集合A与集合B之间可建立一一对应关系，则称A与B等势，记为A≈B。然而康托尔对势没有作非常严格的定义，而将集合的势定义为从集合中抽去元素特性及顺序特性得出的一般概念.德国数学家、数理逻辑学家弗雷格(Frege，(F.L.)G.)与英国数理逻辑学家罗素(Russell，B.A.W.)将集合的基数(势)定义为在等势关系下该集合所在的等价类.这一定义虽然比较严格，但这样定义的基数不是ZF公理集合论中集合的基数.在ZF公理集合论中，按如下方法定义集合x的基数|x|：[3]

    1.若x是可良序化的，则定义|x|为最小的与x等势的序数。

    2.若不然，则定义|x|为与x等势的真类中所有具有最小秩的元素的全体所组成的集合。

    如果某个集合的基数是a，则如此定义的基数满足|x|=|y|，当且仅当x≈y.定义1是由美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼(vonNeumann，J.)于1928年引入的；定义2则是上述弗雷格与罗素思想的翻版。如果存在从集合x到y的单射，则定义|x|≤|y|。如果|x|≤|y|且|y|≤|x|，则|x|=|y|。这就是著名的康托尔-伯恩施坦定理。对于任意的集合x和y，有|x|≤|y|或者|y|≤|x|，当且仅当选择公理成立。可良序化的集合的基数称为良序基数。每一个良序基数都是序数。因此，若设定某一选择公理，则每一个基数都是序数。对任意的序数α，存在大于α的最小良序基数，记为α。由此可见，所有的良序基数构成序数全域的一个无界的子类，即为真类。因此，可以定义一个从序数全域到所有无穷良序基数构成的真类上的保序映射，使得α<β((α)<(β))，式中读做“阿列夫”。还常用α代替(α)，表示第α个无穷良序基数，用ωα表示Nα的序型，故N0=ω0=ω，Nα 1=ωα 1=Nα。若α为极限序数，则Nα=ωα=sup{ωρ|ρ∈α}。Nα是极限基数，当且仅当α是极限序数。

    有人提到阿列夫数，我来认真写一下。

    ZFC集合论下，我们定义序数a为小于a的全体序数的集合。如0=，1={0}，2={0，1}，......，自然数的集合论定义和有限序数一样。然后我们定义ω=N={0，1，2.....}就是全体自然数集合。然后ω 1={0，1，2.....，ω}。总结一下，序数定义如下:

    0=

    a 1=a∪{a}

    x=∪(a<x)a对极限序数x(不能写成a 1的非0序数，如ω)

    基数的定义是，把序数按等势关系划分等价类，每一类中最小序数就是基数。其中有限基数，有限序数都和自然数一样，第1 a个无限基数叫χa(用χ代表阿列夫)，阿列夫a中的a可以取自然数或者超限序数。

    ω，ω 1，ω*3，ω^ω等序数都可以和自然数集合(按某种良序重排)建立一一对应关系，而ω是其中最小的，所以定义χ0=ω=N。整数，有理数等基数也是χ0，但那是指和χ0能建立一一对应，不是χ0这个基数的定义。(张三李四人数为2，但数学上定义2并不是数人数)。所有和χ0等势的集合叫可数无穷集。然后χ1是势大于χ0的序数中最小者。注意如果一个序数和χa等势，它一定小于χ(a 1)。所以χ1比ω 7，ω^66，ω^ω^ω^56等等都大。实数集R的基数是2^χ0(和自然数的幂集，即全体子集的集合等势)，2^χ0=χ1叫连续统假设，在ZFC下不可证明或证伪。如果2^χa=χ(a 1)叫广义连续统假设。实数可以用数轴表示，所以平面上的几何点就是笛卡尔积R*R，和R等势。曲线数量如果当成几何点的子集，那有2^2^χ0个(以下假定广义连续统假设，就说χ2吧)。但你能想象的曲线形状和实数一样，只有χ1个，剩下的都是实数的不可测集的坐标图像，这些曲线不可能用任意方案画出来或者描述出来。接下来χ3是大于χ2的第一个基数，χω是大于所有χn(n∈N)的第一个基数，等等。

    说完这些，我来介绍一下比所有普通阿列夫数都大得多的无穷大，这些无穷大在集合论中叫“大基数”。先考虑一个问题:有x满足χx=x吗？粗看起来似乎不可能，因为x个阿列夫的等级比x个数字大的多。但想一想这个数列，χ0，χχ0，χχχ0，......，它的极限是x=χχχ....，其中χ的套娃有ω层。那么χx=χχχ.....(1 ω=ω个χ)=x。显然这里的x远远超过普通人想到的阿列夫数，但这东西离大基数还无比遥远。我们把这数简记为χ(1，0)，接下来让χ(1，n)是第1 n个满足χx=x的数x。那χ(1，1)=χχχ......(χχχ..... 1)。然后χ(2，n)表示第1 n个满足χ(1，x)=x的数x，有χ(2，0)=χχχ......，其中χ有χχχ..... 1个，......其中χ有ω个。是一座有ω层的χ塔。类似的，χ(a 1，n)是第1 n个满足χ(a，x)=x的数x，对极限序数a，χ(a，n)是第1 n个满足χ(s，x)=x的数x，对每个s